Международная конференция
«Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко
№ гос. регистрации 0321101160, ISBN 978-5-905569-01-2

Головин С.В.  

Криволинейные системы координат для сплошных сред с вмороженными векторными полями

      В ряде математических моделей механики сплошной среды имеются векторные поля, переносимые течением жидкости. Интегральные кривые этих полей, «вмороженные» в течение жидкости, оказывают существенное воздействие на характер движения. Так, в модели идеальной жидкости таковым является поле вихря, в модели идеальной магнитной гидродинамики – магнитное поле. Известны теоремы об инвариантных свойствах течения сплошной среды, записанные в терминах топологических инвариантов данных векторных полей (теоремы Гельмгольца о вихревых трубках, теорема Моффатта о топологической природе спиральности).
     Описание трехмерных движений жидкости, особенно при наличии нетривиальных дополнительных полей, представляет сложную нелинейную задачу, решение которой в виде точных формул удается получить крайне редко, а численные расчеты требуют существенных вычислительных ресурсов и не всегда могут проводиться с гарантированной точностью. В данной работе свойство вмороженности векторных полей используется для построения естественной криволинейной системы координат, в которой интегральные кривые вмороженных полей образуют одно из семейств координатных линий. При таком подходе уравнения движения частично интегрируются. Кроме того, удается отделить сложность описания топологической структуры вмороженных векторных полей от вычисления движения сплошной среды. Это видоизменяет задачу и дает новый подход к описанию сплошной среды: векторное поле в начальный момент времени определяет систему координат, а эволюция движения находится из решения более простой системы уравнений.
     На основе описанного подхода в работе построены точные решения уравнений Эйлера и магнитной гидродинамики, задающие течения с топологически нетривиальной структурой интегральных кривых вмороженных векторных полей.