ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ВОССТАНОВЛЕНИЮ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ*
А.А. Красновский, В.Е. Миренков
ИГД СО РАН, Новосибирск

INVERSE PROBLEM TO RESTORE BOUNDARY CONDITIONS
A. A. Krasnovskii and V. E. Mirenkov
Mining Institute, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, Novosibirsk

The singular integral equation sets to relate values of the stress and displacement components along the entire boundary are derived to solve the problem under consideration. Solutions are presented for the displacement components in quadratures, identifying them at contacts and through the rest boundary conditions similar to stress functions.

 Определение граничных условий на участках периметра недоступных для наблюдений в любой рассматриваемой области представляет важнейшую проблему разрушения, прогноза его и управления им. С математической точки зрения, восстановление граничных условий является достаточно сложной и малоизученной обратной задачей. Решение обратных задач по идентификации усилий на контуре области строится на основе решения прямых и некоторой информации о поле смещений его поверхности. Построение решений таких обратных задач сводится к решению сложной нелинейной системы интегральных уравнений относительно смещений на контуре тела и осуществляется с помощью некоторого итерационного процесса. Пусть необходимо исследовать, скажем, панель, которая сжата, и вытащить ее для нагружения в перпендикулярном направлении нельзя и замерить смещения в области контакта панели с другими частями конструкции не представляется возможным, то есть приходится ограничиваться только участками доступной свободной поверхности для замера смещений. Такой класс не полностью определенных обратных задач, как известно, не рассматривается. В то же время, использование экспериментальных данных, определенных с погрешностью, дискретизация сплошной среды при любом численном счете, вносит погрешность в обратный оператор; априорные предложения на характер деформирования конструкции (скачок смещений, нарушение конформности в конечном числе точек, закрепление области в одной точке и тому подобное) вносят погрешность в контактные условия при формулировке задачи и расширяют класс обратных задач по восстановлению граничных условий. Все такие обратные задачи некорректны, то есть их решения могут не существовать, быть неединственными или неустойчивыми (малым изменениям наблюдаемых данных могут соответствовать большие изменения искомых функций), но для любой из них есть общее требование – необходимость преодоления некорректности через регуляризацию [1-5] или же через получение точных уравнений, связывающих граничные значения компонент напряжений и смещений, описывающих процесс деформирования в рамках выбранной модели, исключающих регуляризацию. Поэтому мы понимаем регуляризацию, как попытку исправить «сознательно» допущенные неточности в виде всевозможных априорных предположений о поведении  конструкций, несовместные с условиями, допускаемыми моделью среды.
В данной работе остановимся на методе определения условий на контакте при нагружении кусочно-однородной пластины, когда есть часть периметра, доступная для экспериментального определения деформирования ее. На рис.1 приведена схема пластины. Границу верхнего слоя обозначим , а нижнего – , так что первый индекс означает отношение к слою, а второй – к части его границы. Система сингулярных интеграционных уравнений, связывающая граничные значения компонент напряжений и смещений для однородной пластины имеет вид [6]
            ,
,         (1)
где  , , – коэффициент Пуассона, − модуль Юнга;; ,  − касательные и нормальные компоненты смещений в точках на ;
                           (2)
,  − усилия на  в направлении осей  и  соответственно; ,  − аффикс точки границы; черточка над функцией обозначает сопряженное значение;  − мнимая единица.

Рис. 1. Схема составной пластины.

Кусочно-однородная пластина, представленная на рис.1, сжимается плитами пресса по граням и , а на боковых гранях граничные условия будут 
,  на  и .                    	(3)
Здесь ,  – нормальные и касательные  напряжения. Дополнительно к (3) будем предполагать известными из эксперимента
,  на  и ,                	(4)
т.е. переопределенные граничные условия (3), (4) на боковых гранях и неизвестные на  и . Переходя к безразмерным величинам, отнесем имеющие размерность длины к ширине блока пород, а размерность напряжений к средним напряжениям под плитами пресса, получаемым при делении прижимающей силы на площадь контакта с пластиной.
Учитывая условия (3), (4) систему (1), разрешенную относительно функций напряжения (2), выпишем для нижней части пластины только нав виде ()

		(5)

Здесь  индекс  обозначает отношение к части составной пластины, индекс  определяет участок границы, рассматриваемой части, - соответствует представлению (2); и в силу симметрии задачи , , , .
Аналогично (5) систему (1), разрешенную относительно функций напряжений (2), выпишем для верхней части пластины только на  
                          ,
 .                    (6)
Ради сокращения записи в (6) приведена только главная часть уравнения, а представления о  и  дают соотношения (5).
Таким образом, левые части (5), (6) можно рассматривать как решение, если известны компоненты смещений на всем периметре и компоненты напряжений вне участков  и . Чтобы вычислить (5), (6) не достает условий по смещениям на этих участках, а если их задать, то приходим к классической ситуации для обратных задач, когда на периметре известны все четыре функции смещений и напряжений. Как показано в [6], система (1) позволяет выписать решения для компонент смещений и напряжений на всех участках  и  в квадратурах, аналогично (5), (6), и получить решение любой из трех основных задач теории упругости (т.е. прямых задач).
 В качестве примера, на рис. 2, 3 приведены решения прямых задач с граничными условиями (3) и 
,  на  и ,  на  ,               (7)
принимая ,  для  значений  и , которым отвечают кривые 1, 2, 3 соответственно.
Учитывая отсутствие в качестве теста необходимых экспериментальных данных, примем кривую 2 (рис. 3) за значения (4). Определять условия на контактах с прессом будем последовательными приближениями, выбрав за первое, например, 
                                      
	                                      (8)
где .

Рис. 2. Деформирование контура пластины.

Рис. 3. Смещений боковых граней пластины:
а), б) – для  в), г) – для .

Для кусочно-однородной пластины с граничными значениями (3), (8) (прямая задача), следуя [6], определяем первое приближение
                                          (9)
и величины компонент смещений и функций напряжений
                                              (10)
на контакте, составляющих блок частей (рис.1).
Рассматривая каждую из двух частей пластины независимо, при фиксированных значениях (10), из (5), (6) с учетом (3), (4) вычисляем второе приближение
.                                          (11)
Для двуслойной пластины с граничными условиями (3), (11) вычисляем (из решения прямой задачи) второе приближение
                              (12)
а также
 ,                                          (13)
и на этом заканчивается первый цикл приближений. Последующие циклы приближения повторяют первый до достижения наперед заданной точности.
Таким образом, в предлагаемом методе решения обратной задачи по идентификации граничных условий последовательно решаются две задачи. Используя условия (3) и (4) на боковых гранях и первое приближение (учитывающие переопределенность смещений) типа (8) на , , по формулам (5), (6) вычисляем (9) и (10), это первая задача. Вторая задача, предполагая заданными (9) на , и (3) на боковых гранях (прямая задача для пластины), определяет второе приближение для смещений (12), (13). Возвращаясь к первой задаче, определяем второе приближение (11) по (5), (6) и т.д.
Предложенный алгоритм последовательных приближений для случая кривой два (рис.3), моделирующей (4) уже на пятом цикле приближения дает отличие от четвертого не более чем на 2%.
Таким образом, приведенная точная система уравнений (1) позволяет выписать решения для компонент смещений и напряжений в квадратурах, что дает возможность исключить процесс регуляризации и предложить метод сведения проблемы к процедуре последовательных приближений, сходящихся к точному решению для граничных условий.

Список литературы
1.	Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука. 1987.
2.	Лаврентьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. Наука. 1981.
3.	Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979.
4.	 Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problems in elasticity. Inverse probl. №21. 2005. P.1-50.
5.	Капцов А.В., Шифрин Е.И. Идентификация  плоской трещины в упругом теле с помощью инвариантных интегралов. МТТ. №3. 2008. с.97-108.
6.	Миренков В.Е., Шутов В.А. Математическое моделирование деформирования горных пород около ослаблений. Новосибирск: Наука. 2009.