Алгоритмы расщепления при решении многомерных задач

В. М. Ковеня
Институт вычислительных технологий СО РАН,630090,Новосибирск, Россия,
kovenya@ict.nsc.ru

      В 60-х годах XX –го столетия в работах Н.Н. Яненко [1] был предложен метод дробных шагов, послуживший основой для численного решения многомерных задач математической физики. Основная идея метода – сведение решения многомерной задачи к решению их одномерных аналогов  оказалась плодотворной. В дальнейшем идеология расщепления (дробных шагов) была успешно применена для решения различных классов задач. В докладе дается обзор методов расщепления и их развитие для численного решения уравнений в частных производных применительно к задачам аэро и гидродинамики. Описываются основные подходы построения экономичных разностных схем, основанных на схемах расщепления по пространственным направлениям, схемах расщепления по физическим процессам и их комбинациям, методе предиктор- корректор и т.д. Увеличение размерности решаемых задач и повышение требований к численным алгоритмам привело к необходимости разработки новых  классов разностных схем, удовлетворяющих требованиям  экономичности и минимальной диссипации, схем  расщепления с минимальным числом арифметических операций при их реализации. Разностные схемы, удовлетворяющие этим требованиям, представлены в докладе.
     Дано обобщение схем расщепления на системы уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости. Для этих уравнений в переменных скорость – давление предложена специальная форма расщепления операторов, позволяющая в рамках единого подхода рассматривать различные классы экономичных разностных схем. Исследованы их свойства, получены оценки их устойчивости.
      Предложенные алгоритмы апробированы на решении различных классов задач. 
1. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967