\documentclass[10pt]{article}

% Подключение пакетов.
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsfonts,amssymb}
 \usepackage{amsthm}
 \usepackage[active]{srcltx}
 \usepackage[cp1251]{inputenc}
 \usepackage[russian]{babel} % Пакет поддержки русского языка

\usepackage[final]{graphicx}

% Оформление списка литературы
\newenvironment{ltrtr}{
 \vspace{0.5\baselineskip} \noindent {\footnotesize{СПИСОК \
ЛИТЕРАТУРЫ}} \vspace{-0.5\baselineskip}
 \begin{enumerate}
 \partopsep=0pt\topsep=0pt\itemsep=1pt\parsep=0pt\parskip=0pt}{\end{enumerate}}

% Установка размеров страницы
\textwidth          13cm
\textheight         18cm
\topmargin          0mm
\oddsidemargin      5mm

\begin{document}

% Инициализация счетчиков автоматической нумерации
\setcounter{figure}{0} \setcounter{equation}{0}
 \setcounter{table}{0} \setcounter{footnote}{0}

\begin{center}
 \title{}{\bf Об одной линейной обратной задаче для трёхмерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка с полунелокальными краевыми условиями в неограниченном параллелепипеде }

\author{}{Джамалов С.З.}

{\it Институт математики АНРУз, Ташкент, Узбекистан;}

{\it siroj63@mail.ru}

\end{center}
В области
 $$G=(0,1)\times (0,T)\times {\mathbb R}=$$
  $$=Q \times {\mathbb R}=\{ (x,t,z);x\in (0,1),0<t<T<+\infty ,z\in {\mathbb R}=(-\infty,\infty)\} ,$$
рассмотрим трехмерное уравнение смешанного типа второго  рода:
 \begin{gather} \label{eq1}
  Lu=k(t)u_{tt} -\Delta u+a\, (x,t)\, u_{t} +c\, (x,t)\, u= \psi \, (x,t,z),\quad
\end{gather}
где      $k(0)\leq0\leq k(T)$, $\Delta u=u_{xx} +u_{zz} $-  оператор Лапласа, здесь $\psi \, (x,t,z)=g\, (x,t,z)+h\, (x,t)\, \cdot f\, (x,t,z),$   $g\, (x,t,z)$  и $f(x,t,z)$ -заданные функции, а функция  $h(x,t)$ подлежит определению.\\
Уравнение (\ref{eq1}) относится к уравнениям смешанного типа второго рода, так как на знак функции  $k(t)$ по переменной  $t$ внутри области $Q$  не налагается никаких ограничений \cite{1}.Пусть все коэффициенты уравнения (\ref{eq1}) достаточно гладкие функции в области $Q.$\\
{\bf Линейная обратная задача.} Найти функции ($u(x,t,z),\; h(x,t)$) удовлетворяющие уравнению (\ref{eq1}) в области $G$, такие что, функция $u\, (x,t,z)$ удовлетворяет следующим полунелокальным краевым условиям 
 \begin{gather} \label{eq2}
\gamma  \left. u\right|_{t=0} = \left. u\right|_{t=T},
\end{gather}
 \begin{gather} \label{eq3}
\left. u\right|_{x=0} =\left. u\right|_{x=1} =0,
\end{gather}
где  $\gamma -$ некоторое постоянное число, отличное от нуля, величина которого будет уточнена ниже.\\
Далее будем считать, что  $u(x,t,z)$ и ${{u}_{z}}(x,t,z)\to 0$ при $|z|\to \infty $,\\ $u(x,t,z)$ абсолютно интегрируема по  $z$  на $R$ при любом $\left( x,t \right)$ в $\overline{Q,}$\\
и с дополнительному  условию
\begin{equation}\label{GrindEQ__4_}
u(x,t,\ell _{0} )=\varphi _{0} \, (x,t),       где  \ell _{0} \in R
\end{equation}
 и с функций $h(x,t)$ принадлежит классу

$$U=\left\{\left. (u,h)\right|\right. \; u\in W_{2}^{2,3} (G\, );h\in W_{2}^{2} (Q \, )\left. \right \}.$$

\begin{ltrtr}

\bibitem{1}
 {\it Врагов В.Н.} Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики.// Новосибирск: НГУ,1983.
 
\end{ltrtr}


\end{document}
