\documentclass[10pt]{article}

% Подключение пакетов.
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsfonts,amssymb}
 \usepackage{amsthm}
 \usepackage[active]{srcltx}
 \usepackage[cp1251]{inputenc}
 \usepackage[russian]{babel} % Пакет поддержки русского языка

\usepackage[final]{graphicx}

% Оформление списка литературы
\newenvironment{ltrtr}{
 \vspace{0.5\baselineskip} \noindent {\footnotesize{СПИСОК \
ЛИТЕРАТУРЫ}} \vspace{-0.5\baselineskip}
 \begin{enumerate}
 \partopsep=0pt\topsep=0pt\itemsep=1pt\parsep=0pt\parskip=0pt}{\end{enumerate}}

% Установка размеров страницы
\textwidth          13cm 
\textheight         18cm 
\topmargin          0mm 
\oddsidemargin      5mm

\begin{document}

% Инициализация счетчиков автоматической нумерации
\setcounter{figure}{0} \setcounter{equation}{0}
 \setcounter{table}{0} \setcounter{footnote}{0}

\begin{center}
 \title{}{\bf УСТОЙЧИВОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В ЗАДАЧАХ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ}

\author{}{Воскобойников Ю.Е.}

{\it НГАСУ (Сибстрин), НГТУ, Новосибирск,\\
ИСЭМ СО РАН, Иркутск}

{\it voscob@mail.ru}

\end{center}

Некоторые алгоритмы непараметрической идентификации нелинейных динамических систем требуют вычисления смешанных производных от выходного сигнала системы. Например, в \cite{voscob1} для идентификации квадратичного ядра $K_{2} \left(s_{1} ,s_{2} \right)$ необходимо вычислить смешанную и частную производные  $f''_{t\nu } (t,\nu ),$ $ f''_{\nu ^{2} } (t,\nu )$, где $f(t,\nu )$ --- выходной сигнал идентифицируемой системы, зарегистрированный со случайными погрешностями (шумами) измерений.

Для устойчивого вычисления этих производных предлагается использовать сглаживающий бикубический (двумерный) сплайн (СБС). Вводится в рассмотрение два типа параметров сглаживания, от которых зависит ошибки сглаживания и дифференцирования: скалярный и векторный. Скалярный параметр одинаков для всего семейства сплайнов при дифференцировании по выбранной переменной. Проекции векторного параметра определяют свой «индивидуальный» параметр сглаживания для каждого сплайна из семейства сплайнов. Так как числовые характеристики шума измерения на практике неизвестны, то для оценивания оптимальных значений параметров сглаживания предлагается алгоритм, построенный на основе проведенной модификации метода L-кривой, широко используемого в зарубежных публикациях для выбора параметра регуляризациипри решении линейных некорректных задач (например, \cite{voscob2}).

Работа выполнена в Институте систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН (ИСЭМ СО РАН) за счет гранта Российского научного фонда (проект \No\,22-21-00409), https://rscf.ru/project/22-21-00409/.

\begin{ltrtr}

\bibitem{voscob1}
 {\it  Voskoboinikov Yu., Solodusha S., Markova E., Antipina E., Boeva V.} Identifica\-ti\-on of Quadratic Volterra Polynomials in the «Input-Output» Models of Nonli\-ne\-ar Systems  // Mathematics. 2022. Vol. 10. P. 1836. doi:  10.3390/math10111836.
 
\bibitem{voscob2}  {\it Rezghi M., Hosseini S.M.} A new variant of L-curve for Tikhonov regularization // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. Vol. 231.  P. 914--924. doi: 10.1016/j.cam.2009.05.016.
\end{ltrtr}

\end{document}
